Nernstsche Gleichung: Normalform <=> Schulform

Schulbücher neigen dazu, die Umrechnung der Nernstschen Gleichung von der Normalform:

    \[ (1) \; U_{H(Ox/Red)} = U_{H(Ox/Red)}^0 + \frac{R \cdot T}{z \cdot F}\cdot ln \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) \]

in die in Klassenzimmern und Unis gebräuchliche Form

    \[ (2) \; U_{H(Ox/Red)} = U_{H(Ox/Red)}^0 + \frac{0,059V}{z}\cdot lg \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) \]

recht kurz darzustellen, da die SuS natürlich die Logarithmengesetze beherrschen. Aber wie kommt man nun von der Normalform zur Schulform?

Dazu machen wir zunächst einige Vorgaben:

  1. R ist die allgemeine Gaskonstante mit einem Wert von 8,314472 J/ mol-1 * K-1
  2. T ist die thermodynamische Temperatur in K, hier mal willkürlich überheizte 297K (24°C) im Winter
  3. z ist die Anzahl der ausgetauschten Elektronen
  4. F ist die Faradaysche Konstante mit einem Wert von 96485,3399 C * mol-1
  5. Wir müssen den natürlichen Logarithmus (ln) zusätzlich noch in den dekadischen (lg) umrechnen

erstmal 1,2,4 in die Normalform einsetzen:

    \[ U_{H(Ox/Red)} = U_{H(Ox/Red)}^0 + \frac{ 8,314472 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 293K}{z \cdot 96485,3399 \frac{C}{mol}}\cdot ln \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) \]

Jetzt kümmern wir uns zunächst einmal um die Einheiten, es soll ja irgendwann Volt (V) da stehen:

    \[ \frac{ \frac{J}{mol \cdot K} \cdot K}{z \cdot \frac{C}{mol}} \]

Nirgendwo ein Volt… Aber Joule (J) lässt sich durch SI Einheiten auch so ausdrücken: 1J = 1C*V. Jetzt nehmen wir noch den Doppelbruch weg:

    \[ \frac{1}{z} \cdot \frac{C \cdot V}{mol \cdot K} \cdot K} \cdot \frac{mol}{C} \]

Wie hübsch sich das kürzen lässt:

    \[ \frac{V}{z} \]

Bleibt nur noch das Problem der Logarithmusumrechnung, aber da gibt es ein Rechengesetz:

    \[ log_b r = \frac{log_a r}{log_a b} \]

Auf unseren Fall bezogen gilt:

    \[ r = \frac{c(Ox)}{c(Red)}\;\;a=e\;\;b=10 \]

Für einen Logarithmus zur Basis e gibt es die Kursschreibweise ln, für einen zur Basis 10 die Kurzschreibweise lg, also:

    \[ log_e(x) = ln(x) \;\;\;log_{10}(x) = lg(x) \]

Wieder auf unseren Fall bezogen:

    \[ lg \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) = \frac{ln\left( \frac{c(Ox)}{c(Red)}\right)}{ln(10)} \]

… und umgeformt:

    \[ ln\left( \frac{c(Ox)}{c(Red)}\right) = ln(10)} \cdot lg \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) \approx 2,3 \cdot lg \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) \]

Den Logarithmus zur Basis Zehn nimmt man wahrscheinlich, weil sich dadurch übliche Konzentrationsangaben leicht und ohne Hilfsmittel umrechnen lassen, z.B. lg(0,1)=1 / lg(0,01)=2 usw.. Jetzt müssen wir alles nur noch zusammenbauen:

    \[ U_{H(Ox/Red)} = U_{H(Ox/Red)}^0 + \frac{ 8,314472 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 297K}{z \cdot 96485,3399 \frac{C}{mol}}\cdot 2,3 \cdot lg \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) \]

und ausrechnen (Wert gerundet):

    \[ U_{H(Ox/Red)} = U_{H(Ox/Red)}^0 + \frac{0,059V}{z}\cdot lg \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) \]

Sieht man doch leicht, oder? Den gängigen Büchern ist das oft maximal zwei, drei Sätze wert. Man kann natürlich mit der didaktischen Reduktion argumentieren – diese Umrechnungen dürften viele SuS am Anfang der Oberstufe im Kontext der bestehenden Curricula im Fach Mathematik hier in Niedersachsen schlichtweg überfordern.

Andererseits könnte man angesichts des vorhandenen Taschenrechners mit seinem CAS auch gleich die Normalform der Nernstschen Gleichung nehmen. Da sagt aber dann der Chemiker schnell: „Oh, das mit dem Zehnerlogarithmus ist aber schon ganz praktisch für den Bezug zu z.B. pH-Werten“ – gerade gesehen im Zentralabitur Chemie 2011.

Ich persönlich finde immer Menschen gut, die wissen, was sie da tun und warum das so zulässig ist. Das verstehe ich unter Kompetenz. Eine Gleichung suchen und mit Zahlen füttern kann wirklich fast jeder in Zeiten des Internets. Die Ergebnisse werden dann richtig sein.

Die Frage bleibt, ob mit solchem Wissen wissenschaftlicher Fortschritt möglich wird oder ob nicht vielmehr die Schulform der Gleichung einen Rahmen setzt, der ohne Kenntnis der Zusammenhänge nicht verlassen werden kann – vielleicht hält sich ja irgendein doofer Stoff unter doofen Bedingungen gar nicht so, wie es die Schulform der Nernstschen Gleichung vorschreibt? Solche Schweinereien kommen in der Natur ja immer wieder vor…

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5 Kommentare

  • Erika

    Hallo Herr Riecken,
    ich glaube, Sie sehen das alles etwas zu idealistisch. Einem Schüler ist es heutzutage leider (meist) egal, wie diese Formeln zustande kommen. Hauptsache, in der Klausur lassen sich die Zahlen problemlos in den Taschenrechner eintippen, um ein paar einfache Punkte zu ergattern.

    Und selbst diejenigen, die die Herleitung der Formel wohl interessieren könnte, könnten damit wohl reichlich wenig anfangen. Ich zähle mich wohl selbst zu jenen. Die oben genannte Normalform der nernstschen Gleichung sagt mir reichlich wenig. Wenn man die Bedeutung derer nicht kennt, macht einen die Herleitung nicht wirklich schlauer. Und jetzt stellt sich die Frage, wie ein Lehrer den Schülern die komplexen Zusammenhänge so schnell erklären kann, zumal im Hinblick auf das Abitur dafür meist wenig Zeit bleibt. Die meisten werden wohl auch nicht wissen, was es mit der Faradayschen Konstante oder der allgemeinen Gaskonstante auf sich hat. Und abgesehen davon werden die meisten den Schritt mit den Logarithmengesetzen nicht verstehen, da diese doch sehr schwer verständlich sind.

    Der Aufwand, die Formel komplett aufzuschlüsseln, ist im Hinblick auf den Zeitaufwand und den wohl für die meisten nicht hohen Erkenntnisgewinn wohl unsinnig. Deshalb bin ich der Meinung, es ist für den Großteil eines Kurses (vor allem bei Grundkursen) eher besser, nur die abgewandelte Form der Gleichung kennen zu lernen. Die Schüler interessiert die Herleitung eben eher weniger.

    MfG, Erika

  • Hallo Erika,

    _Mich_ interessiert die Herleitung, weil ich reflektieren will, was ich über Jahre anderen Menschen beibringe. Vieles, was in den Lehrbüchern steht, wurde von Generationen von Lehrern nicht hinterfragt, sondern wieder und wieder ungeprüft abgeschrieben.

    Deine Herangehensweise („einfach was zum Eintippen“) an den Stoff auf alle Fächer bezogen, führt meiner Ansicht nach zu Dilettantismus. Zudem interessiert mich das Abitur weit weniger, als die vielleicht kommende Rückmeldung, dass es im Studium klappt, weil man dieses oder jenes schon gesehen hat und einordnen kann – auch wenn es nicht „zentralabiturrelevant“ war..

    Das Abitur ist ja eigentlich nicht als Studienzugangsschein, sondern als Studierfähigkeitsschein gemeint. Einem Chemiekurs, der mittlerweile über einen CAS-fähigen Rechner und eine Formelsammlung verfügt (also nichts davon „zu Fuß“ machen muss), sollte das schonmal zuzumuten sein…

    Ach ja: An der Uni kannst du dein Ding zum Eintippen wahrscheinlich eh getrost vergessen und alles wieder „zu Fuß“ machen.

    Aber keine Angst, sowas mache ich nur selten mit Schülern…

    Gruß,

    Herr Riecken

  • Hallo, ich habe ihren Beitrag genossen und ich muss einfach ihrer Meinung zustimmen: Ich persönlich finde auch immer Menschen gut, die wissen, was sie da tun. Einen CAS kann jeder benutzen, aber der Sinn bleibt auf der strecke liegen …..

  • Dirk

    Moin!
    Top Webseite. Anregend und Hilfreich – vielen Dank!

    Nur kurz:

    „F ist die Faradaysche Konstante … bei 297K“
    F = Avogadro-Konstante * Elementarladung
    Von Temperaturabhängigkeit keine Spur. Oder übersehe ich etwas?

    Temperatur bei Standardbedingungen: 25°C bzw. 298 K
    Sagt zumindest wikipedia ;-)

    Viele Grüße,
    Dirk

    • Hallo,

      Den ersten Punkt habe ich korrigiert. Die 24°C kommen aus einem Lehrbuch :o(… Ich mochte das gerade nicht alles nochmal rechnen und habe den Text an den Stellen etwas entschärft.

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