Nernstsche Gleichung: Normalform <=> Schulform

Schulbücher neigen dazu, die Umrechnung der Nernstschen Gleichung von der Normalform:

    \[ (1) \; U_{H(Ox/Red)} = U_{H(Ox/Red)}^0 + \frac{R \cdot T}{z \cdot F}\cdot ln \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) \]

in die in Klassenzimmern und Unis gebräuchliche Form

    \[ (2) \; U_{H(Ox/Red)} = U_{H(Ox/Red)}^0 + \frac{0,059V}{z}\cdot lg \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) \]

recht kurz darzustellen, da die SuS natürlich die Logarithmengesetze beherrschen. Aber wie kommt man nun von der Normalform zur Schulform?

Dazu machen wir zunächst einige Vorgaben:

  1. R ist die allgemeine Gaskonstante mit einem Wert von 8,314472 J/ mol-1 * K-1
  2. T ist die thermodynamische Temperatur in K, hier mal willkürlich überheizte 297K (24°C) im Winter
  3. z ist die Anzahl der ausgetauschten Elektronen
  4. F ist die Faradaysche Konstante mit einem Wert von 96485,3399 C * mol-1
  5. Wir müssen den natürlichen Logarithmus (ln) zusätzlich noch in den dekadischen (lg) umrechnen

erstmal 1,2,4 in die Normalform einsetzen:

    \[ U_{H(Ox/Red)} = U_{H(Ox/Red)}^0 + \frac{ 8,314472 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 293K}{z \cdot 96485,3399 \frac{C}{mol}}\cdot ln \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) \]

Jetzt kümmern wir uns zunächst einmal um die Einheiten, es soll ja irgendwann Volt (V) da stehen:

    \[ \frac{ \frac{J}{mol \cdot K} \cdot K}{z \cdot \frac{C}{mol}} \]

Nirgendwo ein Volt… Aber Joule (J) lässt sich durch SI Einheiten auch so ausdrücken: 1J = 1C*V. Jetzt nehmen wir noch den Doppelbruch weg:

    \[ \frac{1}{z} \cdot \frac{C \cdot V}{mol \cdot K} \cdot K} \cdot \frac{mol}{C} \]

Wie hübsch sich das kürzen lässt:

    \[ \frac{V}{z} \]

Bleibt nur noch das Problem der Logarithmusumrechnung, aber da gibt es ein Rechengesetz:

    \[ log_b r = \frac{log_a r}{log_a b} \]

Auf unseren Fall bezogen gilt:

    \[ r = \frac{c(Ox)}{c(Red)}\;\;a=e\;\;b=10 \]

Für einen Logarithmus zur Basis e gibt es die Kursschreibweise ln, für einen zur Basis 10 die Kurzschreibweise lg, also:

    \[ log_e(x) = ln(x) \;\;\;log_{10}(x) = lg(x) \]

Wieder auf unseren Fall bezogen:

    \[ lg \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) = \frac{ln\left( \frac{c(Ox)}{c(Red)}\right)}{ln(10)} \]

… und umgeformt:

    \[ ln\left( \frac{c(Ox)}{c(Red)}\right) = ln(10)} \cdot lg \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) \approx 2,3 \cdot lg \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) \]

Den Logarithmus zur Basis Zehn nimmt man wahrscheinlich, weil sich dadurch übliche Konzentrationsangaben leicht und ohne Hilfsmittel umrechnen lassen, z.B. lg(0,1)=1 / lg(0,01)=2 usw.. Jetzt müssen wir alles nur noch zusammenbauen:

    \[ U_{H(Ox/Red)} = U_{H(Ox/Red)}^0 + \frac{ 8,314472 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 297K}{z \cdot 96485,3399 \frac{C}{mol}}\cdot 2,3 \cdot lg \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) \]

und ausrechnen (Wert gerundet):

    \[ U_{H(Ox/Red)} = U_{H(Ox/Red)}^0 + \frac{0,059V}{z}\cdot lg \left( \frac{c(Ox)}{c(Red)} \right) \]

Sieht man doch leicht, oder? Den gängigen Büchern ist das oft maximal zwei, drei Sätze wert. Man kann natürlich mit der didaktischen Reduktion argumentieren – diese Umrechnungen dürften viele SuS am Anfang der Oberstufe im Kontext der bestehenden Curricula im Fach Mathematik hier in Niedersachsen schlichtweg überfordern.

Andererseits könnte man angesichts des vorhandenen Taschenrechners mit seinem CAS auch gleich die Normalform der Nernstschen Gleichung nehmen. Da sagt aber dann der Chemiker schnell: „Oh, das mit dem Zehnerlogarithmus ist aber schon ganz praktisch für den Bezug zu z.B. pH-Werten“ – gerade gesehen im Zentralabitur Chemie 2011.

Ich persönlich finde immer Menschen gut, die wissen, was sie da tun und warum das so zulässig ist. Das verstehe ich unter Kompetenz. Eine Gleichung suchen und mit Zahlen füttern kann wirklich fast jeder in Zeiten des Internets. Die Ergebnisse werden dann richtig sein.

Die Frage bleibt, ob mit solchem Wissen wissenschaftlicher Fortschritt möglich wird oder ob nicht vielmehr die Schulform der Gleichung einen Rahmen setzt, der ohne Kenntnis der Zusammenhänge nicht verlassen werden kann – vielleicht hält sich ja irgendein doofer Stoff unter doofen Bedingungen gar nicht so, wie es die Schulform der Nernstschen Gleichung vorschreibt? Solche Schweinereien kommen in der Natur ja immer wieder vor…