Das Ionenprodukt des Wassers

Vor­be­mer­kung:

Alle For­meln in die­sem Arti­kel wur­den mit die­sem Online­tool erstellt!

Und jetzt los:

Nach lan­ger Zeit kommt hier end­lich wie­der etwas Fach­li­ches. Mich ner­ven seit Jah­ren Lehr­bü­cher mit einem Satz, der immer wie­der in der einen oder ande­ren Form auf­tritt. Er lautet:

Wie man leicht sieht…

Ent­we­der ich gehö­re nicht zur Spe­zi­es „man“, ich bin unbe­gabt oder ein­fach zu kri­tisch. Ich sehe zumin­dest in den sel­tens­ten Fäl­len die aus­ge­las­se­nen Zusam­men­hän­ge „leicht“. Ein pri­ma Bei­spiel ist der K_w- bzw. pK_w-Wert, also das Ionen­pro­dukt des Was­sers. Die meis­ten Lehr­bü­cher machen das so (oder ähnlich):

In gerin­gem Maße pro­to­ly­siert Was­ser sich selbst. Dar­auf ist auch die gerin­ge Leit­fä­hig­keit von rei­nem Was­ser zurück­zu­füh­ren. Die Reak­ti­on ver­läuft gemäß:

Für die­se Reak­ti­on lässt sich die Mas­sen­wir­kungs­kon­stan­te K formulieren:

Und jetzt kommt der Satz:

Wie man leicht sieht, kann die Kon­zen­tra­ti­on des Was­ser bei ver­dünn­ten sau­ren und basi­schen Lösun­gen als wei­te­re Kon­stan­te betrach­tet und die Kon­zen­tra­ti­on des Was­sers mit in die Mas­sen­wir­kungs­kon­stan­te K ein­be­zo­gen wer­den, indem man bei­de Sei­ten mit dem Term c(H₂O)² multipliziert:

also

Da der Term K * c(H₂O)² jetzt gemäß obi­ger Vor­aus­set­zung ein Pro­dukt zwei­er Kon­stan­ten ist, fasst man bei­des zu einer neu­en Kon­stan­te K_w zusammen:

Der Wert von 10^-14 mol²/L^-2 ergibt sich aus der Tat­sa­che, dass rei­nes Was­ser einen pH=Wert von 7 auf­weist, dort also gilt c(H₃O⁺) = c(OH^-) = 10^-7 mol/L. So weit so gut. Aber was geschieht eigent­lich, wenn man die rea­le Kon­zen­tra­ti­on des Was­sers mit ein­be­zieht? Wie stark weicht dann K_{idea­li­siert} (Annah­me: Die Kon­zen­tra­ti­on des Was­sers ist kon­stant) dann von K_real (die Kon­zen­tra­ti­on des Was­sers ist nicht kon­stant) ab?

Rech­nen wir das doch ein­mal näherungsweise.

Schritt 1: Die Kon­zen­tra­ti­on des Was­sers in einem Liter Was­ser – oder kurz c₀(H₂O)

gegeben/bekannt:

Dich­te von Was­ser bei 25°C (298K): ρ(H₂O)^298K = 0,997kg/L

Mola­re Mas­se des Was­sers: M(H₂O) = 2*M(H) + 1*M(O) = 2*1g/mol + 1*16g/mol = 18g/mol = 0,018kg/mol

gesucht:

n(H₂O)

allg. gilt:

n(H₂O) kann berech­net wer­den, indem man die Dich­te des Was­ser durch die mola­re Mas­se teilt, also n(H₂O) = ρ(H₂O)^298K/M(H₂O)

ein­set­zen:

n(H₂O) = 0,997kg/L / 0,018kg/mol ≈ 55,38mol

In einem Liter Was­ser sind also ca. 55,38mol Was­ser­mo­le­kü­le ent­hal­ten, oder anders ausgedrückt:

(1) c₀(H₂O) = 55,38mol/L

Schritt 2: K_{idea­li­siert} berechnen

Der Wert von K_{idea­li­siert} bleibt bei jeder erdenk­li­chen Hydro­ni­um- bzw. Hydr­o­xi­d­io­nen­kon­zen­tra­ti­on ja kon­stant – so die Vor­aus­set­zung „Die Kon­zen­tra­ti­on des Was­sers ist ver­nach­läs­sig­bar“. Wir neh­men ein­mal einen pH-Wert von 7, d.h. c(H₃O⁺) = c(OH^-) = 10^-7 mol/L. So gilt:

Das ist jetzt der Refe­renz­wert (100%), zu dem Abwei­chun­gen bestimmt wer­den. K besitzt kei­ne Ein­heit, da ja schließ­lich ledig­lich ein Ver­hält­nis von umge­setz­ten zu nicht umge­setz­ten Was­ser­mo­le­kü­len ange­ge­ben wird. Es gilt also:

(2) K_{idea­li­siert} ≈ 3,26057 * 10^-18

Schritt 3: Berech­nung von K_real bei einer Hydro­ni­um­kon­zen­tra­ti­on von c(H₃O⁺) = 0,1 mol/L (ver­dünn­te Lösung)

Dazu geht man ver­ein­facht von 1 Liter Lösung aus. Wenn in der Lösung 0,1mol (=10^-1) Hydro­ni­um­io­nen vor­han­den sind, so sind gleich­zei­tig 10^-13mol OH^--Ionen vor­han­den. Für die tat­säch­li­che Was­ser­kon­zen­tra­ti­on c(H₂O) gilt dann:

c(H₂O) = c₀(H₂O) – c(H₃O⁺) – c(OH^-) = 55,38mol/L – 0,1mol/L – 10^-13mol/L ≈ 55,28mol/L

Man mag mir nach­se­hen, dass ich die Kon­zen­tra­ti­on der Hydr­o­xi­d­io­nen hier nicht berück­sich­tigt habe – 10^-13 ist für mich eine ver­dammt klei­ne Zahl. Für K_real ergibt sich dann:

Schritt 4: Berech­nung von K_real bei einer Hydro­ni­um­kon­zen­tra­ti­on von c(H₃O⁺) =  1,0 mol/L (kon­zen­trier­te Lösung)

Dazu geht man wie­der ver­ein­facht von 1 Liter Lösung aus. Wenn in der Lösung 1mol (=10⁰) Hydro­ni­um­io­nen vor­han­den sind, so sind gleich­zei­tig 10^-14mol OH^--Ionen vor­han­den. Für die tat­säch­li­che Was­ser­kon­zen­tra­ti­on c(H₂O) gilt dann:

c(H₂O) = c₀(H₂O) – c(H₃O⁺) – c(OH^-) = 55,38mol/L – 1mol/L – 10^-14mol/L ≈ 54,38mol/L

Auch hier ist die Kon­zen­tra­ti­on der Hydr­o­xi­d­io­nen zu gering, um rech­ne­risch wirk­li­chen Nie­der­schlag zu fin­den. Für K_real ergibt sich:

Schritt 5: Bestim­mung der jewei­li­gen Abwei­chung vom idea­li­sier­ten Wert

Dazu neh­me ich fol­gen­de Formel:

K_abwei­chung= 1-(K_real/K_{idea­li­siert})*100

Für die ver­dünn­te Lösung ergibt sich:

K_abwei­chung ≈ 0,3%

Für die kon­zen­trier­te Lösung hingegen:

K_abwei­chung ≈ 3,5%

Ich bin kein guter Feh­ler­rech­ner, aber rein logisch müss­ten die berech­ne­ten Abwei­chun­gen durch­schla­gen auf den K_w-Wert – zumin­dest in der Rela­ti­on. Die ers­te Abwei­chung dürf­te unter­halb der Mess­ge­nau­ig­keit der meis­ten (Schul-)Messgeräte lie­gen. Die zwei­te Abwei­chung ist schon erheb­lich. Den­noch wird teil­wei­se in der Lite­ra­tur für Lösun­gen bis 1mol/L mit der idea­li­sier­ten Glei­chung gerech­net. Nun­ja. Es ist eben müh­sam sich mit Akti­vi­tä­ten und Tabel­len­wer­ken herumzuschlagen.

Wie man leicht sieht, erge­ben sich aus der­ar­ti­gen Fragestellungen:

1. Her­vor­ra­gen­de Ein­satz­mög­lich­kei­ten für einen in der Mathe­ma­tik ein­ge­führ­ten gra­fik­fä­hi­gen Taschenrechner
2. Her­vor­ra­gen­de Mög­lich­kei­ten, um pro­blem­ori­en­tier­tes Den­ken zu schu­len, Welt zu hinterfragen
3. Eine didak­ti­sche Brü­cke zur Ein­füh­rung des Akti­vi­täts­be­grif­fes (was in der Schu­le ja aber nach Mei­nung man­cher Cur­ri­cu­la­ver­fas­ser „viel zu schwer“ ist – selbst im LK)