Titrationsberechnungen

Als Che­mie­leh­rer unter­rich­tet man sie immer wie­der, als SuS atmet man erleich­tert auf, wenn man sie denn hat: Die all­ge­mei­ne Titra­ti­ons­glei­chung.

    \[ (1) \; x_{p} \cdot c_{m} \cdot V_{m} = x_{m} \cdot c_{p} \cdot V_{p} \]

Der Index m steht für Maß­lö­sung, also die Lösung mit der man tri­tiert und deren Kon­zen­tra­ti­on cbekannt ist. Hier bestimmt man mit z.B. einer Büret­te das ver­brauch­te Volu­men Vm bis zum Äqui­va­lenz­punkt bei einer Säu­re-/Ba­seti­tra­ti­on.

Der Index p steht für Pro­be­lö­sung, also die Lösung, deren Kon­zen­tra­ti­on cp bestimmt wer­den soll und deren Volu­men Vbekannt ist.

Span­nend sind die stö­chi­me­tri­schen Fak­to­ren xm und xp, die in der all­ge­mei­nen Titra­ti­onsgglei­chung ja ver­tauscht sind. War­um das so ist, lässt sich nicht unbe­dingt anschau­lich erklä­ren, son­dern eher mathe­ma­tisch, was vie­le Che­mie­bü­cher aber ger­ne ver­schwei­gen oder da ein­fach drü­ber­weg­ge­hen.

Her­aus­be­kom­men kann die Fak­to­ren nur durch Auf­stel­lung der ent­spre­chen­den Reak­ti­ons­glei­chung. Hier ist die zen­tra­le Fra­ge­stel­lung:

In wel­chem Ver­hält­nis np : nm reagie­ren die in der Maß- und Pro­be­k­lö­sung ent­hal­te­nen Mole­kü­le oder For­mel­ein­hei­ten mit­ein­an­der?

Am Bei­spiel der Titra­ti­on von Schwe­fel­säu­re (Pro­be­lö­sung) mit Natron­lau­ge (Maß­lö­sung) lässt sich das recht ein­fach erklä­ren. Schwe­fel­säu­re ist ein soge­nann­te zwei­pro­ton­i­ge Säu­re. Pro Mole­kül kön­nen also zwei Hydro­ni­umio­nen (H3O+) gebil­det wer­den:

    \[ (2) \; H_{2}SO_{4} + 2H_{2}O \rightleftharpoons 2H_{3}O^{+} + SO_{4}^{2-} \]

Titriert man die­se mit Natron­lau­ge, benö­tigt man pro Schwe­fel­säu­re­mo­le­kül (n) rech­ne­risch zwei For­mel­ein­hei­ten (2n) Natri­um­hy­droxid:

    \[ (3) \; 2NaOH  \rightleftharpoons 2Na^{+} + 2OH^{-} \]

Die voll­stän­di­ge Neu­tra­li­sa­ti­ons­glei­chung lau­tet dann:

    \[ (4) \; 2H_{3}O^{+} + SO_{4}^{2-} + 2Na^{+} + 2OH^{-} \rightleftharpoons 4H_{2}O + 2Na^{+} + SO_{4}^{2-} \]

Es gilt also dann:

    \[ (5) \; n_{m} : n_{p} = 2 : 1 \]

Die Stoff­men­ge n ist aber gera­de das, was man zum Ein­set­zen in die Titra­ti­ons­glei­chung nicht braucht. Sie lässt sich aber durch c und V aus­drü­cken, da sie über die Defi­ni­ti­ons­glei­chung der Kon­zen­tra­ti­on mit­ein­an­der ver­knüpft sind:

    \[ (6) \; c = \frac{n}{V} \;\;bzw.\;\; (7) \; n = c \cdot V \]

Jetzt haben wir alle Tei­le des Puz­zles zusam­men. Zuerst schrei­ben wir Glei­chung (5) etwas anders:

    \[ (5) \; n_{m} : n_{p} = 2 : 1 \;\Leftrightarrow\; (8)\; \frac{n_{m}}{n_{p}} = \frac{2}{1} \]

und mul­ti­pli­zie­ren bei­de Sei­ten von (8) mit np:

    \[ (8)\; \frac{n_{m}}{n_{p}} = \frac{2}{1} \;\Leftrightarrow\; (9)\; \frac{n_{m}}{1} = \frac{2\cdot n_{p}}{1} \]

Die 1 im Nen­ner kann man sich auch schen­ken:

    \[ (10)\; 1 \cdot n_{m} = 2 \cdot n_{p} \]

Man sieht aber, dass durch die­se simp­le Umfor­mung der Fak­tor, der mal in der Ver­hält­nis­glei­chung (5) zur Maß­lö­sung gehör­te, nun vor der Pro­be­lö­sung steht. Der Fak­tor für die Maß­lö­sung wür­de auch die Sei­ten wech­seln, man sieht ihn hier eigent­lich nur nicht, weil er den Wert 1 besitzt. Aus Anschau­lich­keits­grün­den habe ich ihn aber dazu­ge­schrie­ben.

Damit ist ein Rät­sel schon­mal gelöst. Zur schluss­end­li­chen Titra­ti­ons­glei­chung kommt dadurch, indem man n gemäß Glei­chung (7) durch c und V ersetzt, also

    \[ (11) \; c_{m} = \frac{n_{m}}{V_{m}} \;\;bzw.\;\; (12) \; n_{m} = c_{m} \cdot V_{m} \]

und

    \[ (13) \; c_{p} = \frac{n_{p}}{V_{p}} \;\;bzw.\;\; (14) \; n_{p} = c_{p} \cdot V_{p} \]

und das set­zen wir jetzt noch in (10) ein:

    \[ (15)\; 1 \cdot  c_{m} \cdot V_{m} = 2 \cdot c_{p} \cdot V_{p} \]

Damit ist das Ziel erreicht. Das gan­ze Sys­tem funk­tio­niert natür­lich auch für Redoxti­tra­tio­nen. Die größ­te Schwie­rig­keit ist eigent­lich „nur” die Bestim­mung des Ver­hält­nis­ses, also das Auf­stel­len der Reak­ti­ons­glei­chun­gen.

Mei­ne Schü­le­rin­nen und Schü­ler bekom­men dann die Faust­re­gel:

In der Titra­ti­ons­glei­chung wech­seln die Zah­len­wer­te aus dem stö­chio­me­tri­schen Ver­hält­nis ein­fach die Sei­ten.

Immer wie­der toll, was LaTeX so kann.

Zersetzungsspannung

Alle Ele­men­te stre­ben den ener­gie­ärms­ten Zustand, d.h. eine mög­lichst sta­bi­le Elek­tro­nen­kon­fi­gu­ra­ti­on an. In der Regel ist die­ser erreicht, wenn in der äußers­ten Kugel­scha­le acht Elek­tro­nen vor­han­den sind. Für die Reak­tio­nen von Zink und Brom ergibt sich fol­gen­de Reak­ti­ons­glei­chung:

Zn + Br2 → ZnBr2

Auf­ge­schlüs­selt nach Teilglei­chun­gen für die Oxi­da­ti­on und Reduk­ti­on sieht man, dass dabei Elek­tro­nen vom Zink zum Brom flie­ßen:

(1) Zn → Zn2+ + 2e- (Oxi­da­ti­on)

(2) Br2 + 2e- → 2Br- (Reduk­ti­on)

Die­se Rich­tung des Elek­tro­nen­flus­ses ist qua­si die natür­li­che: Auf die­se Wei­se errei­chen bei­de Ele­men­te unter Ener­gie­ab­ga­be den ener­gie­ärms­ten Zustand. Wenn die Elek­tro­nen in die ande­re Rich­tung flie­ßen sol­len, bedarf es der Zufuhr von Ener­gie, z.B. von elek­tri­schem Strom, den eine „Elek­tro­nen­pum­pe” wie z.B. eine Bat­te­rie lie­fern kann. Der Pro­zess lässt sich etwa in einer Elek­tro­ly­se­zel­le umkeh­ren, die eine wäss­ri­ge Lösung von Zink­bro­mid ent­hält. Als Elek­tro­den­ma­te­ri­al dient Gra­phit — die Wahl die­ses Mate­ri­als ist nicht belie­big. Eine sol­che Zel­le könn­te fol­gen­der­ma­ßen auf­ge­baut sein:


Die nega­tiv gela­de­nen Bro­m­idio­nen wer­den vom Plus­pol (Anode) der Elek­tro­ly­se­zel­le ange­zo­gen und dort unter Abga­be eines Elek­trons ent­la­den. Der Pro­zess (2) läuft „rück­wärts”. Ana­log wer­den die Zin­kio­nen von dem Minus­pol (Katho­de) ange­zo­gen und dort unter Auf­nah­me von Elek­tro­nen ent­la­den. Der Pro­zess (1) läuft „rück­wärts”. Bei­de Pro­zes­se müs­sen durch eine exter­ne Span­nungs­quel­le erzwun­gen wer­den, sodass Elek­tro­nen an der Katho­de ein­tre­ten und an der Anode aus­tre­ten kön­nen (grü­ne Pfei­le).

Wei­ter­le­sen

Tabellenkalkulation: Aus Prozentwerten direkt Noten berechnen

Dabei hilft die Funk­ti­on SVERWEIS(). Dazu braucht es erst­mal eine Matrix (also einen Teil einer Tabel­le in einer belie­bi­gen Tabel­len­kal­ku­la­ti­on), die wie folgt aus­se­hen könn­te:

A B C
1 Pro­zent­wert Note nume­risch Note ver­bal
2 0 6 unge­nü­gend
3 20 5 man­gel­haft
4 50 4 aus­rei­chend
5 64 3 befrie­di­gend
6 77 2 gut
7 90 1 sehr gut

Über die Zuord­nung von Pro­zent­be­rei­chen zu Noten spre­chen wir jetzt nicht — das ist von Fach zu Fach / Stu­fe zu Stu­fe  eh indi­vi­du­ell unter­schied­lich. Wich­tig ist, dass die Noten auf­stei­gend ange­ord­net sind. Fer­ner sei ange­nom­men, dass das Feld D42 (Per Anhal­ter durch die Gala­xis) den Pro­zent­wert der vom Schü­ler erreich­ten Punkt­zahl ent­hält.  Die Syn­tax von SVERWEIS() sieht erst­mal so aus:

SVERWEIS(Such­kri­te­ri­um; Matrix; Index; Sor­tier­rei­hen­fol­ge)

Unser Such­kri­te­ri­um ist der Pro­zent­wert der erreich­ten Punkt­zahl, also D42. Die Funk­ti­on sucht nun inner­halb eines Daten­be­reichs (einer Matrix), nach einem Wert, der mit unse­rem Such­kri­te­ri­um in der glei­chen Zei­le (Index) steht.  Die Matrix ist hier der Bereich A2 bis C7, oder bes­ser gesperrt $A$2 bis $C$7, da die Funk­ti­on ja an ver­schie­de­nen Stel­len der Tabel­le zum Ein­satz kommt und hin­ein­ko­piert wer­den wird — es gibt ja nicht nur eine Schü­ler­ar­beit zu beno­ten. Index gibt die Spal­te an, in der der Wert steht, der der Pro­zent­zahl zuge­ord­net wer­den soll. Die Sor­tier­rei­hen­fol­ge  1 bzw. wahr gibt an, dass die Wer­te auf­stei­gend sor­tiert sind.

Will ich den Pro­zent­wert in eine Note umrech­nen, gilt für unser Bei­spiel:

SVERWEIS(D42;$A$2:$C$7; 2; 1)

Über­setzt:

Suche im Daten­be­reich A2 bis C7 in der zwei­ten Spal­te (Index) nach einem Wert („mache einen Ver­weis”), der zum Wert von D42 passt und schrei­be ihn in Zel­le. Er passt so lan­ge, wie er den nächst­fol­gen­den Wert nicht über­schrei­tet (auf­stei­gen­de Sor­tie­rung).

Will ich den Pro­zent­wert in eine ver­ba­le Note „umrech­nen”, gilt für unser Bei­spiel ent­spre­chend:

SVERWEIS(D42;$A$2:$C$7; 3; 1)

Nicht dass das nötig wäre: Man kann so nach­träg­lich in der Matrix Pro­zent­gren­zen ändern und im gan­zen Tabel­len­blatt pas­sen sich dann die Noten von Geis­ter­hand an.

Wie so ein Tabel­len­blatt bei mir aus­sieht (das bekom­men die SuS als unter­schrie­be­nen Aus­druck), zei­ge ich noch­mal bei Gele­gen­heit. Auf die­se Wei­se kann ich mich nicht mehr ver­zäh­len und bei den Noten ver­tun — prak­tisch und zeit­spa­rend, denn die Tabel­len­kal­ku­la­ti­on arbei­tet für mich und ich muss  nur den jewei­li­gen Ein­zel­as­pekt im Auge haben. Ich fin­de es fas­zi­nie­rend, dass ab einer gewis­sen Punkt­zahl ein­fach ein Wort „umspringt” — das hat etwas von Levels in einem Jump&Run-Spiel und mit­fie­bern tue ich dabei auch gele­gent­lich. Man muss übri­gens kei­ne Pro­zent­wer­te neh­men — das klappt auch bei Punk­te­gren­zen und natür­lich im Punk­te­sys­tem der Ober­stu­fe bei ent­spre­chen­der Erwei­te­rung der Matrix.

Und ja — ich ste­he auf far­bi­ge Krei­de…