Titrationsberechnungen

Als Chemielehrer unterrichtet man sie immer wieder, als SuS atmet man erleichtert auf, wenn man sie denn hat: Die allgemeine Titrationsgleichung.

    \[ (1) \; x_{p} \cdot c_{m} \cdot V_{m} = x_{m} \cdot c_{p} \cdot V_{p} \]

Der Index m steht für Maßlösung, also die Lösung mit der man tritiert und deren Konzentration cbekannt ist. Hier bestimmt man mit z.B. einer Bürette das verbrauchte Volumen Vm bis zum Äquivalenzpunkt bei einer Säure-/Basetitration.

Der Index p steht für Probelösung, also die Lösung, deren Konzentration cp bestimmt werden soll und deren Volumen Vbekannt ist.

Spannend sind die stöchimetrischen Faktoren xm und xp, die in der allgemeinen Titrationsggleichung ja vertauscht sind. Warum das so ist, lässt sich nicht unbedingt anschaulich erklären, sondern eher mathematisch, was viele Chemiebücher aber gerne verschweigen oder da einfach drüberweggehen.

Herausbekommen kann die Faktoren nur durch Aufstellung der entsprechenden Reaktionsgleichung. Hier ist die zentrale Fragestellung:

In welchem Verhältnis np : nm reagieren die in der Maß- und Probeklösung enthaltenen Moleküle oder Formeleinheiten miteinander?

Am Beispiel der Titration von Schwefelsäure (Probelösung) mit Natronlauge (Maßlösung) lässt sich das recht einfach erklären. Schwefelsäure ist ein sogenannte zweiprotonige Säure. Pro Molekül können also zwei Hydroniumionen (H3O+) gebildet werden:

    \[ (2) \; H_{2}SO_{4} + 2H_{2}O \rightleftharpoons 2H_{3}O^{+} + SO_{4}^{2-} \]

Titriert man diese mit Natronlauge, benötigt man pro Schwefelsäuremolekül (n) rechnerisch zwei Formeleinheiten (2n) Natriumhydroxid:

    \[ (3) \; 2NaOH  \rightleftharpoons 2Na^{+} + 2OH^{-} \]

Die vollständige Neutralisationsgleichung lautet dann:

    \[ (4) \; 2H_{3}O^{+} + SO_{4}^{2-} + 2Na^{+} + 2OH^{-} \rightleftharpoons 4H_{2}O + 2Na^{+} + SO_{4}^{2-} \]

Es gilt also dann:

    \[ (5) \; n_{m} : n_{p} = 2 : 1 \]

Die Stoffmenge n ist aber gerade das, was man zum Einsetzen in die Titrationsgleichung nicht braucht. Sie lässt sich aber durch c und V ausdrücken, da sie über die Definitionsgleichung der Konzentration miteinander verknüpft sind:

    \[ (6) \; c = \frac{n}{V} \;\;bzw.\;\; (7) \; n = c \cdot V \]

Jetzt haben wir alle Teile des Puzzles zusammen. Zuerst schreiben wir Gleichung (5) etwas anders:

    \[ (5) \; n_{m} : n_{p} = 2 : 1 \;\Leftrightarrow\; (8)\; \frac{n_{m}}{n_{p}} = \frac{2}{1} \]

und multiplizieren beide Seiten von (8) mit np:

    \[ (8)\; \frac{n_{m}}{n_{p}} = \frac{2}{1} \;\Leftrightarrow\; (9)\; \frac{n_{m}}{1} = \frac{2\cdot n_{p}}{1} \]

Die 1 im Nenner kann man sich auch schenken:

    \[ (10)\; 1 \cdot n_{m} = 2 \cdot n_{p} \]

Man sieht aber, dass durch diese simple Umformung der Faktor, der mal in der Verhältnisgleichung (5) zur Maßlösung gehörte, nun vor der Probelösung steht. Der Faktor für die Maßlösung würde auch die Seiten wechseln, man sieht ihn hier eigentlich nur nicht, weil er den Wert 1 besitzt. Aus Anschaulichkeitsgründen habe ich ihn aber dazugeschrieben.

Damit ist ein Rätsel schonmal gelöst. Zur schlussendlichen Titrationsgleichung kommt dadurch, indem man n gemäß Gleichung (7) durch c und V ersetzt, also

    \[ (11) \; c_{m} = \frac{n_{m}}{V_{m}} \;\;bzw.\;\; (12) \; n_{m} = c_{m} \cdot V_{m} \]

und

    \[ (13) \; c_{p} = \frac{n_{p}}{V_{p}} \;\;bzw.\;\; (14) \; n_{p} = c_{p} \cdot V_{p} \]

und das setzen wir jetzt noch in (10) ein:

    \[ (15)\; 1 \cdot  c_{m} \cdot V_{m} = 2 \cdot c_{p} \cdot V_{p} \]

Damit ist das Ziel erreicht. Das ganze System funktioniert natürlich auch für Redoxtitrationen. Die größte Schwierigkeit ist eigentlich „nur“ die Bestimmung des Verhältnisses, also das Aufstellen der Reaktionsgleichungen.

Meine Schülerinnen und Schüler bekommen dann die Faustregel:

In der Titrationsgleichung wechseln die Zahlenwerte aus dem stöchiometrischen Verhältnis einfach die Seiten.

Immer wieder toll, was LaTeX so kann.

Zersetzungsspannung

Alle Elemente streben den energieärmsten Zustand, d.h. eine möglichst stabile Elektronenkonfiguration an. In der Regel ist dieser erreicht, wenn in der äußersten Kugelschale acht Elektronen vorhanden sind. Für die Reaktionen von Zink und Brom ergibt sich folgende Reaktionsgleichung:

Zn + Br2 → ZnBr2

Aufgeschlüsselt nach Teilgleichungen für die Oxidation und Reduktion sieht man, dass dabei Elektronen vom Zink zum Brom fließen:

(1) Zn → Zn2+ + 2e (Oxidation)

(2) Br2 + 2e → 2Br (Reduktion)

Diese Richtung des Elektronenflusses ist quasi die natürliche: Auf diese Weise erreichen beide Elemente unter Energieabgabe den energieärmsten Zustand. Wenn die Elektronen in die andere Richtung fließen sollen, bedarf es der Zufuhr von Energie, z.B. von elektrischem Strom, den eine „Elektronenpumpe“ wie z.B. eine Batterie liefern kann. Der Prozess lässt sich etwa in einer Elektrolysezelle umkehren, die eine wässrige Lösung von Zinkbromid enthält. Als Elektrodenmaterial dient Graphit – die Wahl dieses Materials ist nicht beliebig. Eine solche Zelle könnte folgendermaßen aufgebaut sein:


Die negativ geladenen Bromidionen werden vom Pluspol (Anode) der Elektrolysezelle angezogen und dort unter Abgabe eines Elektrons entladen. Der Prozess (2) läuft „rückwärts“. Analog werden die Zinkionen von dem Minuspol (Kathode) angezogen und dort unter Aufnahme von Elektronen entladen. Der Prozess (1) läuft „rückwärts“. Beide Prozesse müssen durch eine externe Spannungsquelle erzwungen werden, sodass Elektronen an der Kathode eintreten und an der Anode austreten können (grüne Pfeile).

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Tabellenkalkulation: Aus Prozentwerten direkt Noten berechnen

Dabei hilft die Funktion SVERWEIS(). Dazu braucht es erstmal eine Matrix (also einen Teil einer Tabelle in einer beliebigen Tabellenkalkulation), die wie folgt aussehen könnte:

A B C
1 Prozentwert Note numerisch Note verbal
2 0 6 ungenügend
3 20 5 mangelhaft
4 50 4 ausreichend
5 64 3 befriedigend
6 77 2 gut
7 90 1 sehr gut

Über die Zuordnung von Prozentbereichen zu Noten sprechen wir jetzt nicht – das ist von Fach zu Fach / Stufe zu Stufe  eh individuell unterschiedlich. Wichtig ist, dass die Noten aufsteigend angeordnet sind. Ferner sei angenommen, dass das Feld D42 (Per Anhalter durch die Galaxis) den Prozentwert der vom Schüler erreichten Punktzahl enthält.  Die Syntax von SVERWEIS() sieht erstmal so aus:

SVERWEIS(Suchkriterium; Matrix; Index; Sortierreihenfolge)

Unser Suchkriterium ist der Prozentwert der erreichten Punktzahl, also D42. Die Funktion sucht nun innerhalb eines Datenbereichs (einer Matrix), nach einem Wert, der mit unserem Suchkriterium in der gleichen Zeile (Index) steht.  Die Matrix ist hier der Bereich A2 bis C7, oder besser gesperrt $A$2 bis $C$7, da die Funktion ja an verschiedenen Stellen der Tabelle zum Einsatz kommt und hineinkopiert werden wird – es gibt ja nicht nur eine Schülerarbeit zu benoten. Index gibt die Spalte an, in der der Wert steht, der der Prozentzahl zugeordnet werden soll. Die Sortierreihenfolge  1 bzw. wahr gibt an, dass die Werte aufsteigend sortiert sind.

Will ich den Prozentwert in eine Note umrechnen, gilt für unser Beispiel:

SVERWEIS(D42;$A$2:$C$7; 2; 1)

Übersetzt:

Suche im Datenbereich A2 bis C7 in der zweiten Spalte (Index) nach einem Wert („mache einen Verweis“), der zum Wert von D42 passt und schreibe ihn in Zelle. Er passt so lange, wie er den nächstfolgenden Wert nicht überschreitet (aufsteigende Sortierung).

Will ich den Prozentwert in eine verbale Note „umrechnen“, gilt für unser Beispiel entsprechend:

SVERWEIS(D42;$A$2:$C$7; 3; 1)

Nicht dass das nötig wäre: Man kann so nachträglich in der Matrix Prozentgrenzen ändern und im ganzen Tabellenblatt passen sich dann die Noten von Geisterhand an.

Wie so ein Tabellenblatt bei mir aussieht (das bekommen die SuS als unterschriebenen Ausdruck), zeige ich nochmal bei Gelegenheit. Auf diese Weise kann ich mich nicht mehr verzählen und bei den Noten vertun – praktisch und zeitsparend, denn die Tabellenkalkulation arbeitet für mich und ich muss  nur den jeweiligen Einzelaspekt im Auge haben. Ich finde es faszinierend, dass ab einer gewissen Punktzahl einfach ein Wort „umspringt“ – das hat etwas von Levels in einem Jump&Run-Spiel und mitfiebern tue ich dabei auch gelegentlich. Man muss übrigens keine Prozentwerte nehmen – das klappt auch bei Punktegrenzen und natürlich im Punktesystem der Oberstufe bei entsprechender Erweiterung der Matrix.

Und ja – ich stehe auf farbige Kreide…